Suite à l'article «Faut-il sauver le VFY?» les auteurs cherchent ensemble le meilleur algorithme de calcul des paramètres du système du deuxième ordre caractérisant le pendule humain inversé: Raideur, frottement, pulsation propre non amortie, coefficient d'amortissement, etc.

    Pour le moment il s'agit donc uniquement de se mettre d'accord sur des algorithmes, contrôlés entre nous pour ne pas refaire d'erreurs! On regardera par la suite l'intérêt que ces paramètres peuvent avoir en clinique, mais déjà le simple fait qu'ils aient une équation dimension leur confère un intérêt théorique indiscutable.

    La démarche générale pour le calcul de ces paramètres est la suivante:

1) Distinguer dans le signal stabilométrique le signal des mouvements du Centre de Pression (CdP) et le signal des mouvements du Cendre de Gravité (CdG), en se servant des analyses mécaniques du pendule inversé faites par Gurfinkel (1973) et Bizzo (Gagey et al., 1993), et des travaux sur le filtrage numérique du signal stabilométrique de Hugon (1999). Autrement dit à partir du signal stabilométrique brut on reconstitue par filtrage numérique le signal CdP et le signal CdG.

2) Utiliser les données de Winter (1998): la transformée de Fourier du signal de différence CdP-CdG permet de mesurer la pulsation propre non amortie du système du deuxième ordre modèlisant le pendule inversé, ainsi que son coefficient d'amortissement.

3) A partir de ces mesures il est alors facile de calculer la raideur et le frottement du modèle (Cf. l'article Faut-il sauver le VFY?).

    A ce jour nous avons étudié deux filtres, non récursifs, dérivés des formules de Spencer, qui fonctionnent sur point roulant, l'un à cinq points, l'autre à 21.

Filtre à cinq constantes

    Ce filtre consiste tout simplement à moyenner cinq points consécutifs en les affectant de coefficients (plus important pour le point central que pour les points périphériques) dont la somme soit égale à 1 et dont la série appartienne à la courbe de Gauss de moyenne 0 et de variance 1.

for i := 3 to (N-2) do
begin { i }
YFN[i] := YAD[i - 2] * P1 + YAD[i - 1] * P2 + YAD[i] * P3 + YAD[i + 1] * P2 + YAD[i + 2] * P1;
end; { i }

Avec P1 = 0.0674, P2 = 0.183, P3 = 0.498; (2*P1+2*P2+P3=1)

    Les «effets de bord» sont traité par la «cuisine» suivante, dans le cas où N=256:

YFN[1] := 2 * YAD[3] * P1 + 2 * YAD[2] * P2 + YAD[1] * P3;
YFN[2] := YAD[4] * P1 + YAD[3] * P2 + YAD[2] * P3 + YAD[1] * P2 + YAD[5] * P1;
YFN[255] := 2 * YAD[253] * P1 + YAD[254] * P2 + YAD[255] * P3 + YAD[256] * P2;
YFN[256] := 2 * YAD[254] * P1 + 2 * YAD[255] * P2 + YAD[256] * P3;

    La fréquence de coupure est d'environ un dixième de la cadence d'échantillonnage (Fc = Fe/10 à -3 dB) soit 0,5 Hz pour une cadence de 5 Hz; l'atténuation est à 6 dB/octave. En appliquant plusieurs fois consécutives ce filtre de lissage on ne change pas la fréquence de coupure mais l'atténuation en dB/octave: 1 fois = 6 dB/octave, 2 fois =12 dB/octave, etc. (fig. 1 à 4).

	FIG. 1 - FFT du signal original.
	FIG. 2 - FFT après un lissage
	FIG. 3 - FFT après deux lissages
	FIG. 4 - FFT après trois lissages

Filtres à vingt et une constantes

    Ces filtres utilisent la même technique du point roulant, la somme des coefficients B[k] est toujours égale à 1, mais leur série appartient à une sinusoïde. Les valeurs des coefficients varient selon qu'on souhaite obtenir un filtre passe-bas ou passe-haut, selon la fréquence d'échantillonnage du signal et selon la fréquence de coupure souhaitée. Il est de la forme:

for i := 21 to (N-1) do
begin { i }
XFN[i] := 0;
for k := 0 to 20 do
begin (* k *)
XFN[i] := XFN[i] + B[k] * XAD[i - 21 + k];
end; (* k *)
end; { i }

où XAD[i] désigne les termes de la série, XFN[i] les mêmes termes après filtrage numérique

    Effets de bord: les vingt premiers points, non affectés par le filtre, n'ont pas été modifiés.

     Les figures 5 à 7 montrent les résultats pour un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure est à 0,4 Hz (fig. 6) ou à 0,5 Hz (fig.7). Les études de Gurfinkel (1973) et de Bizzo (in Gagey et al, 1993), fixent à 0,5 Hz le basculement d'un signal engendré surtout par les mouvements du centre de gravité à un signal engendré surtout par les mouvements du centre de pression. Les expériences de Gagey (1985) indiquraient plutôt 0,6 Hz comme limite entre les mouvements du CdG et ceux du CdP. Hugon a choisi 0,4 Hz à la suite des données de Nardone (Hugon, 1999).

	FIG. 5 - FFT du signal original.
	FIG.6 - FFT du signal après application du filtre 0,4 Hz.
	FIG.7 - FFT du signal après application du filtre 0,5 Hz.

Choix des coefficients

FIG. 8 Même algorithme que sur la figure 6, seule a changé la série des coefficients.

    Le choix des coefficients de ce genre de filtres numériques est à l'évidence capital. Si on prend par exemple pour les 21 coefficients de l'algorithme précédent des valeurs qui satisfont deux conditions: la somme des coefficients est égale à 1 et la série des valeurs appartient à la courbe de Gauss de moyenne nulle et de variance égale à l'unité, selon l'algorithme suivant:

p := Round((NbC - 1) / 2); { NbC: nombre de coefficients }
Sepp := 0; { Sepp: somme des e à la puissance -p }
for i := 1 to p do
begin
Sepp := Sepp + Exp(-Abs(i));
end;
K := 1 / (1 + 2 * Sepp);
for i := 0 to p do
begin
C[i] := K * exp(-Abs(i));
end;

    On obtient un résultat très différent de l'exemple précédent, alors que seules ont changées les valeurs des coefficients (fig. 8)

    Les figures 9, 10 & 11 présentent, en coordonnées semi-logarithmiques, la FFT du signal de différence, Centre de Gravité moins Centre de Pression sur les Y.

    Ce signal a été obtenu par filtrage numérique de la série temporelle des ordonnées de signaux stabilométriques bruts, filtre passe-haut, non récursif, FIR (Finite Impulse Response) type Parks-MacClellan, qui fonctionne sur 21 points roulants, fréquence de coupure 0,5 Hz.

	FIG. 9 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique
	FIG. 10 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique
	FIG. 11 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique

    Ces premières transformées de Fourier sont un peu inquiétantes !... La pulsation propre non amortie du pendule paraît bien proche de la fréquence de coupure du filtre... En d'autres termes avec un signal filtré passe-haut coupure à 0,5 Hz on attend effectivement un maximum des amplitudes tout près de 0,5 Hz....

    Avec un signal traité par un filtre passe-haut, fréquence de coupure 0,4Hz on obtient les figures 12, 13 & 14 qui confirment cette impression que le maximum d'amplitude est plus en rapport avec le filtrage qu'avec la pulsation propre non amortie.

	FIG. 12 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal filtré à 0,4Hz, passe-haut.
	FIG. 13 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal filtré à 0,4Hz, passe-haut.
	FIG. 14 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal filtré à 0,4Hz, passe-haut.

    Enfin non seulement la fréquence de résonance est douteuse mais les courbes ne permettent pas de mesurer le moindre coefficient d'amortissement car on ne peut pas lire clairement une amplitude moyenne dans les fréquences basses.

    Pour lever tous les doutes un autre moyen de construire le signal de différence a été essayé en soustrayant du signal brut le produit d'un filtrage passe-bas. On avait déjà remarqué que, par ce moyen, le signal de différence n'était pas nul dans les bandes de fréquences inférieures. Le résultat de la FFT de ce type de signal est présenté en coordonnées semi-logarithmiques sur les figures 15, 16 & 17, issues, dans l'ordre, des mêmes enregistrements que les figures 12, 13, 14 et les figures 9, 10, 11. Il n'est pas davantage possible de lire une amplitude moyenne dans les fréquences basses...

	FIG. 15 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal obtenu par soustraction du signal brut du produit d'un filtre passe-bas, fréquence de coupure à 0,4Hz.
FIG. 16 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal obtenu par soustraction du signal brut du produit d'un filtre passe-bas, fréquence de coupure à 0,4Hz.
	FIG. 17 - FFT du signal de différence Échelle semilogarithmique. Signal obtenu par soustraction du signal brut du produit d'un filtre passe-bas, fréquence de coupure à 0,4Hz.

Conclusion provisoire

    Il semble difficile de profiter de l'ambiguité du signal stabilométrique pour restaurer avant de les étudier les signaux de mouvements du Centre de Gravité et ceux des mouvements du Centre de Pression. Le filtre numérique introduit une coupure franche dans le signal, sans respecter les parties, haute ou basse, des signaux qu'il est censé restaurer.

    Est-il utile de continuer des recherches dans cette problématique?

    Faut-il revenir au VFY qui nous donne indiscutablement des indications sur la raideur du pendule inversé, bien que d'une manière maladroite?

Commentaires de Maurice HUGON

(Marseille, le 22 février 2000)

Rappel du Pb posé: quel algorithme pour le calcul des paramètres d'une équation caractérisant le pendule humain «inversé» supposé système viscoélastique et inertiel, éventuellement à frottements secs. Fréquence propre et Amortissement.
Propositions: isoler le signal du CdeM et celui du CdeP par filtrages numériques.
Questions: Quel filtres passe-bas et passe-haut: Lissage sur 5 points pondérés, coupure 0,4Hz? Ou 21, coupure 0,5Hz?

Commentaires:

• 1. Extraction du spectre du CdeG à partir d'un stabilog. de CdeP: un lissage à 5 points (Fig.2) donne un profil atténué à 6dB/octave qui ressemble assez bien au profil établi à partir de l'algorithme de Brénière (1996), in ISPG reports Paris 1997. Il faut rappeler que ce traitement appliqué à 10 stabilog. a donné des profils corrélés à 0.94 aux profils appairés du CdeG enregistré par voie optoélectronique (Nardone). Donc un filtrage 5pts, un passage, devrait bien convenir; ou encore à vue Fig.8.
• 2.Le spectre Fig. 1 ne présente pas de minimum de puissance aux alentours de 0,4 Hz., mais simplement une brusque exagération de puissance. Ceci en accord avec diverses autres propositions de spectre en station droite immobile à l'aise, mais à la différence d'autres analyses spectrales. À supposer que la différence des propositions ne soit pas due à des facteurs techniques, on doit conclure à la "signature spectrale individuelle", selon une expression d'auteur récent. Si oui, il conviendrait d'adapter la fréquence de coupure au cas considéré.
• 3. Benda et al. (I3E. 2:3-10, 1994) comparent les excursions (calculées sur données anthropométriques) du CdeG aux profils obtenus par divers modes de filtrage courants appliqués aux CdeP enregistrés selon les voies classiques. 'A low-pass filter with 0.4-0.5Hz provides the best comparison'... Mais la référence doit être entachée d'approximations graves. Je suis d'avis que les filtrages passe-bas devraient être comparés aux enregistrements appairés du CdeG (0.55 de la hauteur du S. à défaut de détermination individuelle par pesée).
  
• 4. Un pendule simple, inversé ou non, en oscillation libre est caractérisé par un spectre étroitement centré sur sa fréquence propre. La complexité du spectre des BF indique ici la présence de facteurs qui forceraient l'oscillation, de manière probablement aléatoire (déplacements programmés du CdeG ...). Manque d'ailleurs de ce point de vue la composition en TBF (jusque vers f# 1/50/s. pour des enregistrements de 51.2s.) Difficultés techniques? À vrai dire j'aime considérer que le S. debout se donne une inclinaison posturale a. Cette inclinaison correspond à une activité tonique de moment M**= mgha, qui devrait être constante. Elle ne 1'est pas: le CdeM dérive lentement et avec lui le CdeP; Il se construit un écart [CdeG actuel-- CdeG prescrit] qui se lit par la dérive de CdeM instantané par rapport au CdeM moyen. Cette dérive de commande est elle-même bruitée. L'intervention des réflexes toniques d'allongement (RTA) doit avoir pour effet, ici comme dans toute commande quasi-statique, de réduire le bruit de contraction du muscle postural (Sol.). Mais RTA ne corrige pas la dérive du CdeG. Une correction n'interviendrait que du fait d'un renouvellement des commandes centrales posturales (celles qui avaient déterminé a... ). Moralité: les variations de CdeM moyen non filtré définissent sur le long terme la stabilité de l'inclinaison. Les basses fréquences (< # 0,4Hz) définissent Ies dérives; les HF (> # 0,4Hz) exprimeraient le jeu des RTE qui font passer les trajectoires du CdeG de l'état "virtuel" (trajectoire programmée erronée bruitée) à la réalisation concrète (erreurs de réalisations locales corrigées par les excursions du CdeP de part et d'autre de la projection instantanée du CdeG). Rédaction détaillée en cours.
• 5. Spectres des excursions propres au CdeP (filtrées HF): leur composition se compare au spectre de 1'effet mécanique (torque) des RTA du Sol. en station de bout (Fig.6 in Fitzpatrick ... J.Physiol.London 458:69-83. 1992)

Fig. 6 de Fitzpatrick. Mean (±2 S.E.m.) ankle torque (A), soleus EMG (B), and ankle angle (C) power spectra for nine standing subjects. The power spectra are shown on logarithmic scales. When standing 'still', subjects reduced their sway at frequencies < 1.0 Hz, whereas there was no difference in sway at higher frequencies (C). Coincident with the reduced sway, there was less soleus EMG and ankle torque below 1.0 Hz. However, above 1.0 Hz there was increased soleus EMG and ankle torque when subjects attempted to minimize sway, despite the sway being unchanged, because standing 'still' resulted in an increase in the perturbing torque. Thus, the result of the increased reflex gain and ankle stiffness is seen as the same extent of sway being maintained against an increased perturbation.

• 6. Ces analyses supposent un système postural stationnaire; On vient de voir qu'il ne 1'est que de façon approchée. On peut réduire puis tolérer cette approximation mais sous précautions (Carroll et Freedman J. Biomech. 26:409-416. 1993). De toute façon la signature individuelle des profils et de leur composition devrait réduire la signification clinique des moyennages multi-individuels.

Expérience de Maurice OUAKNINE

    Maurice OUAKNINE a refait à l'hôpital de la Timone de Marseille une petite série d'enregistrements combinés du centre de pression sur plate-forme de force et du centre de gravité par procédé optique, mais la détermination du centre de gravité était tout à fait simplifiée, pour voir, réduite à une diode placée approximativement au niveau du centre de masse du sujet d'expérience (fig. 18).

FIG. 18 - Centre de Gravité et centre de pression Enregistrements simultanées, pendant 51,2 secondes, du centre de pression par une plate-forme de force (trait jaune) et du centre de gravité par une procédé optique (trait noir), à une cadence d'échantillonnage de 25 Hertz.

    La dérive du signal de la figure 18 est purement fortuite. La grosse différence de ce tracé par rapport à ceux de DA WINTER réside dans le fait que le tracé du centre de pression ne passe pas aussi régulièrement de part et d'autre du tracé du centre de gravité. Par contre la différence des fréquences entre les deux signaux est aussi manifeste sur ces enregistrements.

    La transformée de Fourier du signal de différence entre le centre de gravité et le centre de pression (fig.19) ne donne pas du tout le même tracé que celui présenté par DA WINTER, il y a un pic de fréquence différent du 0,8Hz, situé autour de 0,18Hz. Ce pic de fréquence peut s'expliquer de deux manières:

- il peut être lié au fait que le tracé du centre de pression reste longtemps du même côté du centre de pression comme cela se voit sur le tracé temporel; la différence CdM-CdP acquiert de ce fait une composante fréquentielle très basse,

- il se peut aussi que la diode utilisée pour l'enregistrement optique de l'évolution de la position d'un point situé près du centre de gravité ait été placée sur une partie du corps mobilisée par la ventilation, car ce pic de fréquence correspond au rythme ventilatoire.

(Notez que, pour des raisons de commodités, le calcul la FFT a été traité comme si l'enregistrement avait été réalisé à une cadence d'échantillonnage de 20Hz, au lieu de 25Hz.)

FIG. 19 - Transformée de Fourier du signal de différence entre le Centre de Masse et le Centre de pression. Même enregistrement que sur la figure 18. L'échelle des fréquences est logarithmique.

    D'après cet unique essai il semblerait que la précision de la mesure de l'amortissement sur ce tracé de FFT du signal de différende dépende fortement de la précision d'enregistrement des mouvements du centre de gravité.

Calcul de la raideur à partir du stabilogramme: Le paramètre de Raideur Efficace Normalisé (REN).

    Puisqu'il ne semble pas possible de calculer la raideur à partir d'une transformée de Fourier du signal de différence CdG-CdP obtenue par filtrage numérique du signal stabilométrique, puisqu'il ne semble pas davantage possible, dans un environnement clinique, de calculer la raideur à partir de la comparaison d'un enregistrement optique et d'un enregistrement stabilométrique, il faut essayer d'autres pistes, par exemple la paramètre de Raideur Efficace Normalisée (REN): Px/X.

(Pour la justification physique de cette équation Cf. Faut-il sauver le VFY? en particulier la figure 9)

(1)	L'équation (1) est divisée par le poids du sujet, W, et par la hauteur, h, de son centre de gravité pour que le paramètre soit normalisé par rapport aux poids et tailles des sujets.

    A priori cette méthode paraît avantageuse car elle part d'une mesure de distances clairement définies après un filtrage numérique. La figure 20 présente une portion zoomée (multipliée par 4) d'un stabilogramme rapporté à un référentiel ayant pour origine l'axe des chevilles et qui distingue:

- l'évolution de la projection du centre de gravité rapporté à l'axe des chevilles (YCdG = signal stabilométrique [YAD] moins le signal filtré passe-haut [>0,5Hz; YCdP], en trait gras)

- et l'évolution du centre de pression (signal filtré passe-haut rapporté à la projection du centre de gravité [YCdG], en trait fin):

    (X[i]) ou YCdG[i] := YAD[i] - YCdP[i] + 80; (* X[i] et Px[i] évalués par rapport à l'axe des chevilles *)
    (Px[i]) ou YCdP[i] := YCdG[i] - YCdP[i]; (* pour une pointure 40, ici *)

FIG. 20 - Évolution comparée des mouvements du Centre de Pression et du Centre de Gravité, rapportés à l'axe des chevilles. Trait gras: Centre de Gravité Trait fin: Centre de Pression Unités: mm et s.

    Le graphique de la figure 20 montre une alternance régulière de la position du centre de pression par rapport à la position du centre de gravité comme on peut s'y attendre au cours de la stabilisation d'un pendule inversé par mobilisation du centre de pression. Comme un chien de berger, le Centre de Pression «court» au delà de la zone où se dirige le Centre de Gravité pour le ramener vers sa position moyenne.

    Ce traitement mathématique fournit deux séries temporelles, X[i] et Px[i], dont il est facile de faire le rapport à chaque instant.

    Il faut certainement ne pas tenir compte d'un seul de ces rapports, mais étudier la distribution de ce rapport dans l'ensemble de la série temporelle de l'enregistrement.

    Comme la différence Px[i]-X[i] est tantôt positive tantôt négative ce serait une erreur d'étudier la moyenne de la distribution de cette différence en valeurs réelles -elle serait proche de zéro- il faudrait l'étudier en valeur absolue. De même pour étudier la moyenne de la distribution du rapport Px[i]/X[i] il me semble important de tenir compte de l'ordre de ces valeurs, de mettre toujours au numérateur la valeur la plus élevée: ce qui nous intéresse c'est la raideur efficace qui s'oppose à l'accélération horizontale de la masse corporelle, quelque soit le sens de cette accélération, vers l'avant ou vers l'arrière.

    Une première étude expérimentale de ce paramètre de Raideur Efficace Normalisée (REN) a été conduite sur des signaux stabilométriques ayant subis un filtrage numérique, filtre passe-haut, non récursif, FIR (Finite Impulse Response) type Parks-MacClellan, sur 21 points roulants, fréquence de coupure 0,5 Hz.

    Cette étude fournit quelques indications intéressantes:  

- Dans une série de 88 sujets normaux le paramètre REN a pour moyenne 1,01534 ± 0,005418 (étendue: 1,0305/1,007).

- Dans une cohorte de 21 sujets adultes jeunes normaux, enregistrés yeux ouverts ou fermés, sur sol dur ou sur sol mousse, avant et 3 heures après ingestion de 25mg de Lorazépam, la comparaison des 28 combinaisons possibles entre ces 8 situations différentes montre:

        Une différence statistiquement très significative (p<0,001) lorsqu'on compare le REN: YO/YF sur sol dur (t=4,92); YO/YF sur sol mou (t=9,47); Sol dur/Sol mou en YF uniquement (t=6,14).

        Une différence statistiquement significative (p<0,01) lorsqu'on compare le REN: Avant/Après ingestion de Lorazépam en YO (t = 3,70); Avant/Après ingestion de Lorazépam en YF (t=3,61).

    Ce paramètre REN présente donc à la fois une distribution très peu dispersée et des variations, significatives et cohérentes, à diverses manipulations du système postural. Il semble donc intéressant de poursuivre son étude après avoir reçu les avis des uns et des autres.

Bibliographie

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Gagey P.M., Bizzo G., Bonnier L., Gentaz R., Guillaume P., Marucchi C., Villeneuve P. (1993) Huit leçons de Posturologie. (Troisième édition) Editées par l'Association Française de Posturologie, 4, avenue de Corbéra, 75012 Paris.

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Winter D.A., Patla A.E., Prince F., Ishac M., Gielo-Perczak K. (1998) Stiffness control of Balance in Quiet Standing, J. Neurophysiol., 80 : 1211-21.