Vierordt avait raison

   Vierordt, dès le milieu du XIXe siècle, avait compris que le corps de l'homme n'est jamais en équilibre, toujours à la recherche de cet instant éphémère au cours duquel s'annulent toutes les forces en action sur sa masse corporelle (Vierordt, 1860). Et Vierordt a cherché à pénétrer cette dynamique fluctuante en enregistrant les oscillations posturales, sûr que ce petit gribouillis était très riche d'informations (fig. 1).

FIG. 1 - Oscillations posturales enregistrées par Vierordt vers 1860.

  

    Effectivement depuis une trentaine d'années l'analyse du signal stabilométrique montre que Vierordt avait raison. Plus nous développons nos analyses, conventionnelles, fréquentielles, stochastiques, plus nous constatons que la foi de Vierordt était fondée.
   Alors l'analyse dynamique non-linéaire, pourquoi pas? D'ailleurs elle a déjà donné quelques preuves d'une puissance assez exceptionnelle (Gagey et al, 1998; Sasaki et al., à paraître). Mais elle n'est pas évidente à comprendre, il faut s'y préparer.

Comprendre Takens

   À première vue le signal stabilométrique n'est qu'un ensemble de points dont on a relevé les coordonnées dans un référentiel biomécanique...
   Mais ces points sont ordonnés dans le temps, et la logique de la stabilisation nous permet de comprendre intuitivement que la position d'un point à l'instant t dépend de la position du point à l'instant t-1: le corps revient en arrière parce qu'il était allé trop en avant, etc.
   Autrement dit cette série temporelle est récursive, ce qui se passe à l'instant t est fonction de ce qui s'est passé à l'instant t-1:

   Ces points nous «racontent une histoire», pourrait-on dire de façon plus imagée; en eux sont inscrits les fruits d'un mouvement, d'une dynamique...
   Or ces points sont les points d'application de la résultante des forces que la plate-forme oppose aux forces exercées sur elle par le corps du sujet. L'histoire que nous conte le signal stabilométrique est donc une histoire de forces, c'est-à-dire de masses, d'accélérations, de vitesses, une histoire de dynamique, une dynamique de dynamique pourrait-on dire pour jouer sur les deux sens du terme.
   Et ces dynamiques dépendent de facteurs neurophysiologiques très nombreux, à commencer par toutes les entrées du système postural fin: visuelle, vestibulaire, extéroceptive plantaire, proprioceptive, etc.
   Ainsi dans cette série temporelle récursive, la position de chaque point est déterminée par un grand nombre de facteurs.

   Malheureusement les rôles joués par chacun de ces facteurs sont intriqués, confondus, un peu comme sont confondues toutes les couleurs de l'arc-en-ciel dans la lumière blanche. Pour séparer les différentes couleurs contenues dans la lumière blanche il faut qu'elle soit diffractée à travers un prisme optique. De la même manière - si l'on peut dire - grâce au théorème de Takens, l'analyse dynamique non-linéaire diffracte l'effet des divers facteurs en passant le signal à travers un prisme temporel (fig. 2).

FIG. 2 - Comparaison du théorème de Takens à un prisme temporel. L'effet des divers facteurs est diffracté, sur un instant étendu de t - kt à t + kt. (k=1 sur la figure)

   À chacun des n facteurs qui déterminent la position du centre de pression, on attribue -sans les désigner-:

• Un axe de référentiel dans un espace mathématique à n dimensions,
• Une série de valeurs de coordonnées sur cet axe, déterminées par un certain décalage temporel, kt, par rapport à l'instant de référence, t : X[t+kt].

   Ces n coordonnées donnent la position du point-image du système à «l'instant t», dans cet espace mathématique à n dimensions, dit «espace des phases» (fig. 3).

FIG. 3 - Construction d'une image de la dynamique du système dans «l'espace des phases». À chaque facteur est attribué un axe de référentiel et la série des coordonnées sur cet axe est déterminée par le délai temporel attribué à ce facteur; ici +t pour le facteur X, -t pour le facteur Y, 0 pour le facteur Z.

   La trajectoire du point-image dans l'espace des phases (fig. 4) permet de suivre l'évolution des divers facteurs au cours du temps.

FIG. 4 - Exemple de trajectoire dans l'espace des phases: l'attracteur de Lorentz.

À quoi ça sert?

   Cette image de la dynamique du système dans l'espace des phases peut être exploitée de diverses manières.
   Comme les différents facteurs qui interviennent dans la dynamique du système sont distingués dans l'espace des phases, mais non nommés, il serait certes possible mais totalement inutile de suivre l'évolution de chaque facteur car d'une part on ne saurait pas de quoi il s'agit -le facteur est innominé-, d'autre part cette évolution ne serait autre que le signal stabilométrique lui-même! La série des X[t+kt] est identique à la série des X[t], à quelques termes extrêmes près.
   Par contre il est possible de «compter» ces facteurs (Grassberger & Procaccia, 1983; Sugihara & May, 1990) pour répondre à une question importante:

   Plus nombreux sont les facteurs qui interviennent dans la dynamique d'un système, plus nombreux sont ses degrés de liberté.
   Il est possible aussi de comparer les images de deux systèmes différents (Le Van Quyen et al., 1999) pour évaluer:

• Si l'on peut prédire l'image d'un système B à partir de l'image d'un système A, leurs dynamiques sont corrélées.
• Si on ne peut pas prédire A à partir de B, le système A jouit d'un «niveau hiérarchique» supérieur à B, il «en sait» plus sur B que B «n'en sait» sur lui.

Une application de l'analyse dynamique non-linéaire

   L'analyse dynamique non-linéaire s'est révélée nettement plus performante que les analyses conventionnelles, fréquentielles et stochastiques au cours d'une étude de l'adaptation du système postural fin au port de verre prismatique (Gagey et al., 1998).
   Les analyses conventionnelles ne montraient qu'une très discrète réaction du système postural fin et uniquement pendant les premières minutes de l'adaptation au port de verres correcteurs prismés (fig. 5),

FIG. 5 - Adaptation posturale au port de verres correcteurs. Moyennes et écart-types du paramètre VFY avant (temps T-1) et au cours de l'adaptation au port de verres correcteurs (temps PTx). La seule différence statistiquement significative porte sur la variance : À la troisième minute (PTØ1) et à la sixième minute (PTØ2) du port de verres prismés la variance de la distribution est significativement différente. Mais cette différence a complètement disparu après trois heures (PTH) et après trois semaines (PTM) de port des verres prismés. N=34, situation yeux ouverts (D'après Gagey et al., 1998).

   Alors qu'un mois après le début de la phase d'adaptation aux verres prismés, l'analyse dynamique non linéaire mettait encore en évidence une réduction des degrés de liberté du système (fig. 6).

FIG. 6 - Adaptation posturale au port de verres correcteurs. Coefficients de corrélation, r, entre les images du système, prédites et réelles, selon l'intervalle de prédiction, Tp, (algorithme de Sugihara-May), Avant l'expérience (T-1), après un mois de port de verres prismés (PTM) et non prismés (TM). Les résultats des temps intermédiaires (TØ, etc.) ont été supprimés du graphique pour plus de clarté. On constate une réduction des degrés de liberté du système postural fin qui persiste un mois après le début de l'adaptation aux verres prismés. Un sujet en situation yeux ouverts, (D'après Gagey et al., 1998).

Conclusion
   L'analyse dynamique non-linéaire est encore du domaine de la recherche clinique: On ne peut pas encore dire à quoi elle servira, ni même si elle servira à quelque chose!...
   Elle requiert une type spécial de plate-forme capable d'échantillonner correctement le signal à 40 Hertz.

Bibliographie
Gagey P.M., Martinerie J., Pezard L., Benaim Ch. (1998) L'équilibre statique est contrôlé par un système dynamique non-linéaire. Ann. Oto-Laryngol., 115: 161-168.
Grassberger P., Procaccia I. (1983) Phys. Rev. Lett., 50, 346-369.
Le Van Quyen M., Martinerie J., Adam C., Varela F.J. (1999) Nonlinear analyses of interictal EEG map the brain interdependences in human focal epilepsy. Physica D, 127 : 250-266.
Sasaki O., Gagey P.M., Ouaknine M., Martinerie J., Le Van Quyen M., Toupet M., L'Héritier A. Nonlinear Analysis of orthostatic posture in vestibulopathy (article soumis)
Sugihara G., May R.M. (1990) Nonlinear forcasting as a way of distinguishing chaos from measurement error in time series. Nature, 344: 734-741.
Vierordt Karl von (1860/ 1862/ 1864/ 1871/ 1877) Grundriss der Physiologie des Menschen. H. Laupp, Tuebingen.